Maksimipistemäärä on 6+11+2 = 19 pistettä.

Vastaa kaikkiin tehtäviin!

1                   Mitä tarkoittavat seuraavat termit ja lyhenteet? Kirjoita lyhyt kuvaus termin tai lyhenteen tarkoittamasta asiasta!

1.1           

z-d

z^-d (2 p)       
- viivetermi (1 p)           
- d näytevälin pituisen viiveen z-muunnos (1 p)   
- symboli järjestelmä- eli lohkokaaviossa           
- z = e ^jw (½ p) 

1.2               siirtofunktion navat ja nollat (2 p)
- siirtofunktio H(z) on kahden polynomin osamäärä (½ p)          
- osoittajapolynomin (”yläkerran”) nollakohtia sanotaan siirtofunktion nolliksi (½ p)       
- nimittäjäpolynomin (”alakerran”) nollakohtia sanotaan siirtofunktion navoiksi (½ p)      
- navat ja nollat ovat kompleksisia lukuja/taajuuksia (½ p)         
- siirtofunktio/amplitudivaste menee nollaksi siirtofunktion nollan taajuudella ja äärettömäksi navan taajuudella (1 p)        
- systeemin vahvistus kasvaa navan ja pienenee nollan lähellä (1 p)         
- nollat merkitään nollanapakuviossa ympyrällä ja navat rastilla (½ p)     

1.3               amplitudivaste (2 p)
- systeemin vahvistus taajuuden funktiona (1 p) 
- taajuusvasteen itseisarvo (½ p)           
- aina reaalinen ja positiivinen (½ p)      
- voidaan arvioida systeemin nollien ja napojen sijainnin perusteella (½ p)

2                   Systeemin differenssiyhtälö on    

         

2.1            Piirrä systeemiä kuvaava järjestelmä- eli lohkokaavio! (2 p)   

2.2            Määritä systeemin siirtofunktio H(z)! (2 p)        
         

2.3            Määritä systeemin nollat ja navat sekä piirrä ne yksikköympyrän kanssa kompleksitasoon! (2 p)      

2.4            Laske systeemin vahvistus taajuuksilla  = 0,  =  ja siirtofunktion nollaa vastaavalla taajuudella! (3 p)    

Siirtofunktion nolla sijaitsee imaginaariakselilla kulmassa +90^o = p/2 radiaania, joten sitä vastaava kulmataajuus w = p/2.     
         

2.5            Piirrä systeemin amplitudivaste nolla-napa-kuviosta päättelemällä! Käytä hyväksesi kohdassa 2.4 saamiasi tuloksia! (2 p)

Taajuusakseli ajatellaan kiertyvän yksikköympyrän kehälle niin, että kohta, jossa yksikköympyrä leikkaa positiivisen reaaliakselin, vastaa taajuutta 0 ja negatiivisen reaaliakselin leikkaava kohta vastaa taajuutta p. Amplitudivaste voidaan arvioida kuljettamalla tarkastelutaajuutta yksikköympyrän kehää pitkin taajuudesta 0 taajuuteen p, eli tasasignaalista näytteenottotaajuuden puolikasta vastaavaan taajuuteen saakka.      

Vahvistus on kohdan 2.4 laskelmien mukaan nollataajuudella 0.5, puolikkaan piin kohdalla hieman reilu puolitoista ja piin kohdalla vajaa 0.9. Napa on hyvin lähellä yksikköympyrän kehää, joten hieman piin puolikkaan jälkeen tulee voimakas vahvistuspiikki. Taajuuksilla, joiden etäisyys nolliin ja napoihin on suunnilleen yhtä suuri, vahvistus on noin yksi.  

3                   Diskreetistä signaalista on valittu analysoitavaksi neljän näytteen pituinen jakso  Laske jaksosta DFT-muunnos, kun k=1. (2 p)       

DFT-muunnos saadaan laskettua sijoittamalla sivun alalaidan kaavaan annetut arvot. Näytejonon x(n) pituus N = 4, k = 1, ja itse näytejono x(n) koostuu arvoista 0, -1, 0 ja 1.